分式环

构造

分式环是局部化的一个简单特例。以下设 R {\displaystyle R} 为一个整环，而 S := R − − --> { 0 } {\displaystyle S:=R-\{0\}} 。

在集合 R × × --> S {\displaystyle R\times S} 上定等价关系价关系 ∼ ∼ --> {\displaystyle \sim } ：

等价类 [ r , s ] {\displaystyle [r,s]} 可以想成“分式” r / s {\displaystyle r/s} ，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此类比，在商集 ( R × × --> S ) / ∼ ∼ --> {\displaystyle (R\times S)/\sim } 上定义加法与乘法为：

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 R → → --> ( R × × --> S ) / ∼ ∼ --> {\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim } ，定义为 r ↦ ↦ --> [ r , 1 ] {\displaystyle r\mapsto [r,1]} ；这是一个单射。于是可定义分式环 T ( R ) := ( R × × --> S ) / ∼ ∼ --> {\displaystyle T(R):=(R\times S)/\sim } ，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳将 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 里的元素写作分式 r / s {\displaystyle r/s} 。

泛性质

整环 R {\displaystyle R} 的分式环 K ( R ) {\displaystyle K(R)} 及其自然环同态 R → → --> K ( R ) {\displaystyle R\rightarrow K(R)} 满足以下的泛性质：

此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组资料 ( K , ϕ ϕ --> : R → → --> T ) {\displaystyle (K,\phi :R\rightarrow T)} 若使得 K − − --> { 0 } {\displaystyle K-\{0\}} 中的元素在 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 K {\displaystyle K} 必与 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 同构。

例子

有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的分式环。

有理函数域是多项式环的分式环

代数数域是代数整数环的分式环。

在一个连通复流形上，亚纯函数域是全纯函数环的分式环。

推广

更多资料：局部化

对于一般的交换环 R {\displaystyle R} （容许有零因子 ），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 R → → --> S − − --> 1 R {\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R} 为单射的“最大”局部化，详述如下：

设 S {\displaystyle S} 为 R {\displaystyle R} 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 T ( R ) := S − − --> 1 R {\displaystyle T(R):=S^{-1}R} ，此时 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 常被称作 R {\displaystyle R} 的 全分式环 。

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