可解群
例子所有的阿贝尔群都是可解的-其商群A/B总会是可交换的,若A为可交换的。但非阿贝尔群则不一定都是可解的。更一般地,所有幂零群都是可解的。特别地是,所有的有限p-群都是可解的,因为所有的有限p-群都会是幂零的。可解但不为幂零的群的一个小例子为对称群S3。实际上,当最小的简单非可贝尔群为A5(5度的交错群)时,它允许每一个小于60阶的群皆为可解的。群S5不是可解的-它有一合成列{E,A5,S5}(且若尔当-赫尔德定理表示每个其他的合成列都会等价于此一合成列),给出了同构于A5及C2的商群;而A5为非可换的。广义化此一论述,结合An在n>4时为Sn的正规、最大且非阿贝尔简单子群的事实,可知n>4的所有Sn皆不可解,此亦为证明每一个n>4的n次多项式都不可以以方根得解的关键步骤。著名的范特-汤普逊定理叙述著,每一个奇数阶的有限群皆是可解的。特别地是,此定理表示,若一有限群为简单的,其必为素数循环......