可数集
定义如果存在从S到自然数集合N={0,1,2,3,...}存在单射函数,则S称为可数集。如果S还是满射,则同样是双射,则称S是无限可数集。换句话说,一个集合要想是无限可数集,它要和自然数集N有一一对应关系。如上所述,这个术语不普遍:一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”,并没有包括有限集。介绍由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的,因为我们可以将所有的n都对应到2n,如此就完成了一一对应。类似地,不难证明所有整数构成的集合Z、所有有理数构成的集合Q、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合R是不可列的,即R与N之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数,因为刚才已经说过代数数是可列的;于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。正规定义和性质由......