可数集

定义

如果存在从 S 到自然数集合 N = {0, 1, 2, 3, ...}存在单射函数，则 S 称为可数集。

如果 S 还是满射，则同样是双射，则称S是 无限可数集 。

换句话说，一个集合要想是 无限可数集 ，它要和自然数集 N 有一一对应关系。

如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。

介绍

由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的，因为我们可以将所有的 n 都对应到2 n ，如此就完成了一一对应。类似地，不难证明所有整数构成的集合Z、所有有理数构成的集合Q、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。

并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合R是不可列的，即R与N之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数，因为刚才已经说过代数数是可列的；于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。

正规定义和性质

由定义，如果存在从 S 到自然数集合 N = {0, 1, 2, 3, ...}存在单射函数 f : S → N ，则 S 称为可数集。

这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。

为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：

由于{ a , b , c }的每个元素都可以和{1, 2, 3}中 准确的一个 配对， 并且 反过来也同样，这就定义了一个双射。

我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？

考虑集合 A = {1, 2, 3, ... }（正整数集），和 B = {2, 4, 6, ... }（正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此 B 是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用 n ↔ 2 n ，那么

正如前面的例子， A 的每个元素都已和 B 中 准确的一个 配对， 并且 反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。

同样，自然数的有序对的集合是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：

康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数

配对结果就像这样：

显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。

参见

Aleph数

计数

希尔伯特旅馆悖论

不可数集

有限集合

参考资料

Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York:Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4

Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York:McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X

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