叶戈罗夫定理
定理的陈述设(M,d)为一个可分度量空间(例如实数,度量为通常的距离d(a,b)=|a−b|)。给定某个测度空间(X,Σ,μ)上的M-值可测函数的序列(fn),以及一个有限μ-测度的可测子集A,使得(fn)在A上μ-几乎处处收敛于极限函数f,那么以下结果成立:对于每一个ε>0,都存在A的一个可测子集B,使得μ(B)fn)在相对补集A\B上一致收敛于f。在这里,μ(B)表示B的μ-测度。该定理说明,在A上几乎处处逐点收敛,意味着除了在任意小测度的某个子集B上外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。假设的讨论注意μ(A)<∞的假设是必要勒贝格测度格测度下,考虑定义在实直线上的实值指示函数的序列:这个序列处处逐点收敛于零函数,但对于任何有限测度的集合B,它在R\B上不一致收敛。度量空间的可分性是需要的,以保证对于M-值可测函数f和g,距离d(f(x),g(x))也是x的可测实值函数。证明对于实数......