挠率张量
挠率张量设M是切丛上带有联络∇的流形。挠率张量(有时也称为嘉当(挠率)张量)是一个矢量值2-形式,定义在矢量场X于Y上这里[X,Y]是两个矢量场的李括号。由莱布尼兹法则,对任何光滑函数f有T(fX,Y)=T(X,fY)=fT(X,Y)。所以T是一个张量,尽管是用非张量的共变导数定义的:它给出了切矢量上的一个2形式,但共变导数只对矢量场有定义。曲率和比安基恒等式联络∇的曲率张量是一个映射TM∧TM→End(TM),定义在矢量场X,Y,与Z上注意,对位于一点的矢量,这个定义与这个矢量如何扩张成一个矢量场的方式无关(即定义了一个张量,类似于挠率)。比安基恒等式联系了曲率和挠率。将X,Y与Z的循环求和记为S{\displaystyle{\mathfrak{S}}},例如那么下面的公式成立1.比安基第一恒等式:2.比安基第二恒等式:挠率张量的分量挠率张量在切丛的局部截面的基(e1,...,en)下可......