有界集合
定义如果存在一个实数k,使得对于所有S中的s有k≥s,实数集合S被称为“上有界”的,这个数k被称为S的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。如果集合S有上界和下界二者,则它是有界的。所以,如果一个实数集合包含在有限区间内,则它是有界的。度量空间度量空间(M,d)的子集S是有界的,如果它包含在有限半径的球内,就是说如果对于所有S中的s,存在M中的x并且r>0,使得d(x,s)<r。M是有界度量空间(或d是有界度量),如果M作为自身的子集是有界的。完全有界性蕴涵有界性。对于R的子集下列二者是等价的。度量空间是紧致的,当且仅当它是完备的并且是完全有界的。欧几里得空间R的子集是紧致的,当且仅当它是闭集并且是有界的。拓扑向量空间内的有界性在拓扑向量空间中,存在一个有界集合的不同定义,通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所诱导,如度量是由赋范向量空间的范数所诱导的情况,则这......