素理想
正式定义环R的理想P是素理想,当且仅当它是一个真理想(也就是说,P≠R),且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P,都有A⊆P或B⊆P。交换环的素理想素理想对交换环有一个较简单的描述:设R是一个交换环,如果它具有以下两个性质,那么R的理想P是素理想:只要a,b是R的两个元素,使得它们的乘积ab位于P内,那么要么a位于P内,要么b位于P内。P不等于整个环R。这推广了素数的以下性质:如果p是一个素数,且p能整除两个整数的乘积ab,那么p要么能整除a,要么能整除b。因此,我们可以说:例子如果R表示复系数二元多项式环C[X,Y],那么由多项式Y−X−X−1生成的理想是素理想(参见椭圆曲线)。在整系数多项式环Z[X]中,由2和X生成的理想是素理想。它由所有系数项为偶数的多项式组成。在任何环R中,极大理想是一个理想M,它是R的所有真理想的集合中的极大元,也就是说,M包含在R的正好两个理想内,即M本身和......