空间

参看面向物理的模空间的表述，参看模。

定义令I为（可能无穷的）指标集，并设Xi对于I中由i所对应的每一个拓扑空间。置X=ΠXi，也即集合Xi的卡积。对于每个I中的i，我们有一个标准投影pi:X→Xi。X上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑（也就是开集最少的拓扑）。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑。很明显，X上的乘积拓扑可以表述为形为pi(U)的集合生成的拓扑，其中i属于I，而U是Xi的一个开集。换句话说，集合{pi(U)}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi(U)的集合的交集的并集。pi(U)有时称为开柱，而它们的交集称为柱集。我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I，选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基，并且满足Xi=Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间...

历史和动机术语“紧致”是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。很久以来就认识到了像紧致性这样的性质对于证明很多有用的定理是必需的。最初“紧致”意味着“序列紧致”（所有序列都有收敛子序列）。这是在研究主要的度量空间的时候。“覆盖紧致”定义已经变得更加突出，因为它允许我们考虑更一般的拓扑空间，并且关于度量空间的很多已有结果可以推广到这种设置。这种推广在研究函数空间的时候特别有用，它们很多都不是度量空间。研究紧致空间的主要原因之一是因为它们以某种方式类似于有限集合：有很多结果易于对有限集合证明，其证明可以通过极小的变动就转移到紧致空间上。常说“紧致性是在有限性之后最好的事情”。例如：假设X是豪斯多夫空间，我们有一个X中的点x和不包含x的X的有限子集A。则我们可以通过邻域来分离x和A:对于每个A中的a，设U(x)和V(a)分别是包含x和a的不相交的邻域系统。则所有U(x)的交集和所有V(a)的并集就是...

C++中的命名空间在C++语言中，命名空间是一种实体（entity），使用namespace来声明，并使用{}来界定命名空间体（namespacebody）。例：namespacefoo{intbar;}和C语言的全局作用域兼容，C++具有全局命名空间作用域，对应的命名空间是全局命名空间。全局命名空间不需要声明。使用时，可以用前缀为::的qualified-id显式限定全局命名空间作用域中的名称。例如，::operatornew指称全局new运算符函数。命名空间可以在另一命名空间之中嵌套声明；但不能声明在类和代码块之中。在命名空间中声明的名称，默认具有外部链接属性（除非声明的是const对象，它默认是具有内部链接属性）。按照是否有名字，可分为有名字的命名空间与匿名命名空间。后者的声明为：namespace{namespace-body（即声明序列(可选)）}匿名命名空间中的名字具有文件作用...

公理化定义给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：向量加法：+:V×V→V，把V中的两个元素u和v映射到V中另一个元素，记作u+v；标量乘法：·:F×V→V，把F中的一个元素a和V中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作a·u。V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。而V装备的两个运算满足下面的公理（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：向量加法结合律：u+(v+w)=(u+v)+w,向量加法交换律：u+v=v+u，存在向量加法的单位元：V里存在一个叫做零向量的元素，记作0，使得对任意u∈V，都有u+0=u，向量加法的逆元素：对任意u∈V，都存在v∈V,使得u+v=0。标量乘法对向量加法满足分配律：a·(v+w)=a·v+a·w.标量乘法对域加法...