等距同构

定义

设X, Y是两个度量空间，其中的距离分别是dX 和dY。一个映射f : X → Y 被称为“保距映射”，如果对任意的a,b ∈ X，都有

保距映射一定是单射。任意两个度量空间之间的等距同构都必然是一个拓扑嵌入。

等距同构是一一对应的保距映射，有时也被称为全局等距同构。还有一种定义是路径等距同构，指保持所有曲线长度的映射（不一定是一一对应的）。

如果两个度量空间之间存在一个等距同构，就称它们两个为等距同构的。所有从一个度量空间到另一个的等距同构关于映射的复合运算组成一个群，称为等距同构群。

例子

所有度量空间到自身的恒等映射都是等距同构。

在欧几里得空间中，平移变换、旋转变换、反射变换以及它们的复合都是等距同构。

内积空间C 上的线性等距同构是所有的酉变换。

线性等距同构

在赋范向量空间之间可以定义线性等距同构：所有保持范数的线性映射：

线性等距同构一定是保距映射，因此如果是满射，就是（全局）等距同构。

根据马祖-玉兰定理，系数域为实数的赋范向量空间上的等距同构一定是仿射变换。

参见

对合

同胚

参考来源

张贤科. 《高等代数学》第二版. 清华大学出版社. 2002. ISBN 978-7-302-11088-0. 

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