非完整系统

广义座标的转换

完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数xd{\displaystyle x_{d}}是完整约束函数fk{\displaystyle f_{k}}里的一个参数，现在指定除去xd{\displaystyle x_{d}}。重新编排上述约束方程式，求出表示xd{\displaystyle x_{d}}的函数gk{\displaystyle g_{k}}：

将函数gk{\displaystyle g_{k}}代入所有提到xd{\displaystyle x_{d}}的方程式。这样，可以除去所有指定变数xd{\displaystyle x_{d}}。

假设一个物理系统原本的自由度是N{\displaystyle N}。现在，将h{\displaystyle h}个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为m=N− − -->h{\displaystyle m=N-h}。可以用m{\displaystyle m}个独立广义座标(q1, q2, … … -->, qm){\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})}来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下：

换句话说，由于非完整约束无法依照上述方法，来除去其所含广义座标，完全描述非完整系统，所需要的广义座标数目，大于自由度。

微分形式表示

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第i{\displaystyle i}个约束的微分形式的约束方程式：

这里，cij{\displaystyle c_{ij}}，ci{\displaystyle c_{i}}分别为微分dqj{\displaystyle dq_{j}}与dt{\displaystyle dt}的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说，有一个函数fi(q1, q2, q3, … … -->, qN, t)=0{\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0}的全微分满足下述等式：

那么，此约束是完整约束；否则，此约束是非完整约束。因此，所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束的微分形式的约束方程式，这约束到底是完整约束，还是非完整约束，需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

半完整系统

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此，非完整系统也比较难分析，只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如，一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示：

则称此系统为半完整系统；这里，q˙ ˙ -->j{\displaystyle {\dot {q}}_{j}}是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子λ λ -->i{\displaystyle \lambda _{i}}

这里，λ λ -->i=λ λ -->i(q1, q2, … … -->, qN, q˙ ˙ -->1, q˙ ˙ -->2, … … -->, q˙ ˙ -->N, t){\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)}是未知函数。

假设哈密顿原理成立，则下述方程式成立：

这里，L{\displaystyle L}是拉格朗日量，t1{\displaystyle t_{1}} 与t2{\displaystyle t_{2}}分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算，可以得到方程式

由于这N{\displaystyle N}个广义座标中，仍旧有n{\displaystyle n}个不独立广义座标，不能将拉格朗日方程式提取出来；必须加入拉格朗日乘子项目：

经过变分法运算，可以得到方程式

这里，Fj{\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}是广义力的j{\displaystyle j}分量：

虽然还有n{\displaystyle n}个不独立广义座标，仍旧可以调整n{\displaystyle n}加入的拉格朗日乘子，使总和公式内的每一个虚位移δ δ -->qj{\displaystyle \delta q_{j}}的系数都等于0。因此，

这N{\displaystyle N}个方程式加上n{\displaystyle n}个约束方程式，给予了N+n{\displaystyle N+n}个方程式来解N{\displaystyle N}个未知广义座标与n{\displaystyle n}个拉格朗日乘子。

实例

非完整系统至少存在于以下三个状况：

物体在做滚动运动。

系统的约束包括不等式。

系统的约束与速度有关。

参阅

参考文献

Jack Sarfatti.Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics(PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26 （英语）. 

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