方块矩阵

发展作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，已经出现过以矩阵形式表示线性方程组系数以解方程的图例，可算作是矩阵的雏形。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。阿瑟·凯莱被认为是矩阵论的奠基人进入十九世纪后，行列式的研究进一步发展，矩阵的概念也应运而生。奥古斯丁·路易·柯西是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。他还在1829年就在行列式的框架中证明了实对称矩阵特征根为实数的结论。其后，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特注意到，在作为行列式的计算形式以外，将数...

应用任意线性变换都可以用矩阵表示为易于计算的一致形式，并且多个变换也可以很容易地通过矩阵的相乘连接在一起。线性变换不是唯一可以用矩阵表示的变换。R维的仿射变换与透视投影都可以用齐次坐标表示为RP维（即n+1维的真实投影空间）的线性变换。因此，在三维计算机图形学中大量使用着4x4的矩阵变换。寻找变换矩阵如果已经有一个函数型的线性变换T(x){\displaystyleT(x)}，那么通过T对标准基每个向量进行简单变换，然后将结果插入矩阵的列中，这样很容易就可以确定变换矩阵A，即例如，函数T(x)=5x{\displaystyleT(x)=5x}是线性变换，通过上面的过程得到（假设n=2）在二维图形中的应用示例最为常用的几何变换都是线性变换，这包括旋转、缩放、切变、反射以及正投影。在二维空间中，线性变换可以用2×2的变换矩阵表示。旋转绕原点逆时针旋转θ度角的变换公式是x′=xcos⁡⁡-->θ...

例子(a000b000c),(100020000),(1007),(2){\displaystyle{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}均为对角矩阵矩阵运算[a1a2⋱⋱-->an]+[b1b2⋱⋱-->bn]=[a1+b1a2+b2⋱⋱-->an+bn]{\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a...

基本例子在一个交换环R上n×n矩阵集合MR(n,n)在矩阵加法与乘法下自身是一个环。MR(n,n)的单位群称为在环R上n×n矩阵的一般线性群，记作GLn(R)或GL(n,R)。所有矩阵群是某个一般线性群的子群。典型群某些特别有趣的矩阵群是所谓的典型群。当矩阵群的系数环是实数，这些群是典型李群。当底环是一个有限域，典型群是李型群。这些群在有限单群分类中起着重要的作用。有限群作为矩阵群任何有限群同构于某个矩阵群。这类似于凯莱定理说每个有限群同构于某个置换群。因为同构性质是传递的，我们只需考虑怎样从一个置换群构造一个矩阵群。令G是在n点(Ω={1,2,…,n})上的置换群，设{g1,...,gk}是G的一个生成集合。复数上n×n矩阵的一般线性群GLn(C)自然作用在向量空间C上。设B={b1,…,bn}是C的标准基。对每个gi令Mi属于GLn(C)是将每个bj...

例子(abcbdecef),(130316061),(1557),(2){\displaystyle{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}特性对于任何方形矩阵X{\displaystyleX}，X+XT{\displaystyleX+X^{T}}是对称矩阵。A{\displaystyleA}为方形矩阵是A{\displaystyleA}为对称矩阵的必要条件。对角矩阵都是对称矩阵。两...