亚纯函数

例子

所有的有理函数如

函数

函数

函数f(z)=ln⁡ ⁡ -->z{\displaystyle f(z)=\ln z}不是在整个复平面上的亚纯函数，因为它只在复平面上的一个孤立点集上有定义。

性质

由于亚纯函数的极点是孤立点，它们至多有可数多个。极点的个数可以有无穷多个，例如函数：

使用解析拓延来消去可去奇点后，亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当g(z){\displaystyle g(z)}在D的连通部分上不恒为零时，还可以定义f/g。因此，当D连通时，所有的亚纯函数构成一个域，为复数域的一个域扩张。

黎曼曲面上的亚纯函数

在一个黎曼曲面上，每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。

当D为整个黎曼球时，亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域，因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数（这是所谓的GAGA原理的一个特例）。

参考

Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.

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