离散群

性质

因为拓扑群是齐次的，你只需要查看一个单一的点就能确定这个群是否为离散的。特别是，拓扑群是离散的，当且仅当包含单位元的单元素集合是开集。

离散群是和零维李群同样的东西(不可数离散群不是第二可数的，所以要求李群满足这个公理的作者不把这些群认做李群)。离散群的单位元单元就是平凡子群而单元的群同构于这个群自身。

因为只有在有限集合上的豪斯多夫拓扑是离散拓扑，有限豪斯多夫拓扑群必然是离散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是离散群。

G 的离散子群 H 是馀紧致(cocompact)的，如果有 G 的紧子集K 使得 HK = G。

离散正规子群在覆盖群和局部同构群的理论中扮演重要角色。连通群 G 的离散正规子群必然位于 G 的中心并因此是阿贝尔群。

其他性质:

所有离散群的子群都是离散群。

所有离散群的商群都是离散群。

有限个离散群的乘积是离散群。

离散群是紧群当且仅当它是有限的。

所有离散群都是局部紧群。

所有豪斯多夫群的离散子群都是闭合的。

所有紧致豪斯多夫群的离散子群都是有限的。

例子

卷结群和壁纸群是欧几里德平面的等距同构群的离散子群。壁纸群是馀紧致的，但卷结群不是。

空间群是某维度的欧几里德空间的等距同构群的离散子群。

结晶群通常意味着馀紧致的、某个欧几里德空间的等距同构的离散子群。但是有时结晶群可以是幂零或可解李群的馀紧致离散子群。

所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的时候)、欧几里德平面(在 T 有有限指标的 Z + Z 子群的时候)或双曲面的等距同构群的离散子群。

富克斯群通过定义是双曲面的等距同构群的离散子群。

克莱因群通过定义是双曲3-空间的等距同构群的离散子群。这包括准-富克斯群。

在李群中的格是使得商群的哈尔测度为有限的离散子群。

参见

几何群论

计算群论

自由正则集合

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