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正规矩阵

提要:特例在复系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。但是正规矩阵并非只包括上述几类,例如下面的是正规矩阵,因为:矩阵A{\displaystyle\mathbf{A}}既不是酉矩阵,也不是埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵。两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵。如果A{\displaystyle\mathbf{A}}同时既是三角矩阵又是正规矩阵,那么A{\displaystyle\mathbf{A}}是对角矩阵,这点可以由比较A∗∗-->A{\displaystyle\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}}和AA∗∗-->{\displaystyle\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}}的相应系数得到。性质正规矩阵的概念十分重要,因为它们正是能使谱定理成立的对象:矩阵A{\displ

特例

在复系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

但是正规矩阵并非只包括上述几类,例如下面的

是正规矩阵,因为:

矩阵A{\displaystyle \mathbf {A} }既不是酉矩阵,也不是埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵。

两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵。

如果A{\displaystyle \mathbf {A} }同时既是三角矩阵又是正规矩阵,那么A{\displaystyle \mathbf {A} }是对角矩阵,这点可以由比较A∗ ∗ -->A{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} }和AA∗ ∗ -->{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}的相应系数得到。

性质

正规矩阵的概念十分重要,因为它们正是能使谱定理成立的对象:矩阵A{\displaystyle \mathbf {A} }正规当且仅当它可以被写成A=UΛ Λ -->U∗ ∗ -->{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}的形式。其中的Λ Λ -->=diag⁡ ⁡ -->(λ λ -->1,λ λ -->2,… … -->){\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}为对角矩阵,U{\displaystyle \mathbf {U} }为酉矩阵:

矩阵Λ对角线上的元素是A的特征值,而组成U的列向量则是A相应的特征向量。

谱定理的一种陈述,是说正规矩阵正好是能在Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}的某个正交基下变成对角矩阵的那些矩阵(这里将矩阵同于Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}上的线性变换,并使用常用的内积)。另外一种说法为:矩阵是正规的当且仅当其特征向量能张成整个Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}},并且两两正交。

一般来说,两个正规矩阵A和B的乘积不是正规矩阵,但是,如果A和B两者可以交换,那么它们的乘积与和就仍然是正规的。这是因为它们可以“同时”(通过同一个相似变换矩阵)被对角化:

于是,AB=U∗ ∗ -->diag⁡ ⁡ -->(a1b1,a2b2,… … -->)U{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots )\mathbf {U} }、A+B=U∗ ∗ -->diag⁡ ⁡ -->(a1+b1,a2+b2,… … -->)U{\displaystyle \mathbf {A+B} =\mathbf {U} ^{*}\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots )\mathbf {U} }都是正规矩阵。

任何方阵A都可以通过极分解写成A = UP。其中U是酉矩阵、P是某个半正定矩阵。如果A可逆,那么U和P都是唯一的。而如果A是正规矩阵,那么UP = PU(其逆命题只在有限维的情况下成立)。

推广

正规矩阵的概念可以被推广为无穷维希尔伯特空间中的正规算子和C*-代数中的正规元素。

类比

不同种类的正规矩阵可以与各种复数建立对应的类比关系。比如:

可逆矩阵类似于非零的复数。

矩阵的共轭转置类似于复数的共轭

酉矩阵类似于模等于1的复数。

埃尔米特矩阵类似于实数。

埃尔米特矩阵中的正定矩阵类似于正实数。

斜埃尔米特矩阵类似于纯虚数。

参见

相似矩阵

0-1矩阵

若尔当标准型

参考来源

史荣昌,矩阵分析,第三章,北京理工大学出版社,ISBN 7-810-45075-1

苏育才,矩阵理论,第六章,科技出版社,ISBN 7-030-16355-9

刘丁酉,矩阵分析,第四章,93-95,武汉大学出版社,ISBN 7-307-03821-8

(法文)欧几里德空间与埃尔米特空间(PDF). 


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