同余关系

模算术

元型例子是模算术：对于一个正整数n，两个整数a和b被称为同余模n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数）。

例如，5和11同余模3：

因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数除以3得到相同的余数：

如果a1≡ ≡ -->b1(modn){\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}}并且a2≡ ≡ -->b2(modn){\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}，则a1+a2≡ ≡ -->b1+b2(modn){\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}}并且a1a2≡ ≡ -->b1b2(modn){\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}}。这把同余(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。

线性代数

两个实数矩阵A和B被称为合同的，如果存在可逆实数矩阵P使得

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵，必须区分“合同”（A和B是合同，如果有可逆矩阵P使得PAP = B）和“*合同”（A和B是*合同，如果有可逆矩阵P使得P*AP = B）。

泛代数

想法是推广到泛代数中：代数A上的同余关系是直积A×A的子集，它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。

同态的核总是同余。实际上，所有同余引起自核。对于给定在A上的同余~，等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同余关系的格是代数格。

群的同余、正规子群和理想

在群的特殊情况下，同余关系可以用基本术语描述为：如果G是群（带有单位元e）并且~是在G上的二元关系，则~是同余只要：

给定G的任何元素a，a ~ a（自反关系）。

给定G任何的元素a和b，如果a ~ b，则b ~ a（对称关系）。

给定G的任何元素a,b和c，如果a ~ b并且b ~ c，则a ~ c（传递关系）。

给定G的任何元素a,a",b和b" ，如果a ~ a" 并且b ~ b" ，则a * b ~ a" * b" 。

给定G的任何元素a和a" ，如果a ~ a" ，则a ~ a"（这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗余的）。

条件1, 2和3声称~是等价关系。

同余~完全确定自G的同余于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b当且仅当b * a ~ e。所以替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同余都唯一的对应于G的某个正规子群。

环理想和一般情况的核

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同余关系，在模理论中为子模来替代同余关系。

这个技巧不适用于幺半群，所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

参见

合同

等价关系

模

模算数

引用

Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。