实函数

定义

一个实函数 f 是一个把实数（一般以 x 表示）映射到另一实数（函数的值，一般以 f(x) 表示）的函数。换句话说，实函数是一个函数 f:X→ → -->R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }，当中 X{\displaystyle X} 是 R{\displaystyle \mathbb {R} } 一个包含至少一个开集的子集（可以等于 R{\displaystyle \mathbb {R} }）。

定义于所有非负实数的平方根函数便是一个例子：f:X→ → -->R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }，当中 X={x∈ ∈ -->R:x≥ ≥ -->0}{\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}} 是所有非负实数的集合及对所有 x∈ ∈ -->X{\displaystyle x\in X}，f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}。

定义域

一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 X 的实函数 f 和任一 X 的子集 Y，可定义 f 对 Y 的限制函数 f|Y。其定义域为 Y 而对所有 Y 的元素，函数的取值维持不变。若 Y 是 X 的真子集，这两个函数理论上并不相同，但往往可将两者视为等同。

相反，有时函数的定义域可透过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见，明确指出实函数的未必有明显价值。

像与值域

函数 f 的值域是指当 x 可取定义域内任何值时，f(x) 所有可能取值的集合。若 f 是连续实函数而其定义域是一个区间，那么它的值域也会是一个区间（除非 f 是常数函数，此时其值域将是一点）。

对任何实数 y，方程式 y=f(x) 所有实数解的集合称为 y 的原像。

代数结构

实函数之间的运算可如下定义：

对任意实数 r 及实函数 f，可定义两者的积 rf:x↦ ↦ -->rf(x){\displaystyle rf:x\mapsto rf(x)}。若 r 不等于 0，则此函数的定义域与 f 相同。

对任何两个实函数 f 和 g，可定义两者的和 f+g:x↦ ↦ -->f(x)+g(x){\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)} 及积 fg:x↦ ↦ -->f(x)g(x){\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}。两者的定义域均为 f 和 g 的定义域的交集。

由此，所有定义于全部实数和所有定义于某一特定区间的实函数分别组成 R{\displaystyle \mathbb {R} } 上的结合代数（也因此组成一个向量空间），其中加法和乘法单位元分别为常数函数 0f:x↦ ↦ -->0{\displaystyle 0_{f}:x\mapsto 0} 及 1f:x↦ ↦ -->1{\displaystyle 1_{f}:x\mapsto 1}。

虽然对任意实函数 f 可定义 1/f:x↦ ↦ -->1/f(x){\displaystyle 1/f:x\mapsto 1/f(x)}，但由于此函数的定义域不包含所有使得 f(x)=0 的 x 值，它不一定等于 f 的定义域，所以上述代数结构不构成一个体。

参见

实分析

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