标准正交基

例子

在欧几里德空间R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}中，集合：{e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)}组成一个标准正交基。

由fn(x) = exp（2πinx）定义的集合：

基本性质

B是H上的一个正交基，那么H中的每个元素x都可以表示成：

当B是标准正交基时，就是：

x的模长表示为：

即使B不是可数的，上面和式里的非零项也只会有可数多个，所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作x的傅立叶展开，详见傅里叶级数。

若B是H上的一个标准正交基，那么H“同构”于序列空间l（B）。因为存在以下H->l（B）的双射Φ，使得对于所有H中的x和y有：

正交基的存在性

运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以证明每个希尔伯特空间都有基，并且有正交基。同一个空间的正交基的基数必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基，就说这个空间是可分的。

哈默尔基

有前面的定义可以知道，在无穷维空间的情况下，正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分，把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。

在内积空间的实际应用中，哈默尔基甚少出现，因此提到“基”的概念时，一般指的是正交基。

参看

基 (线性代数)

正交

正交化

正交分解

正交矩阵

垂直

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