参数方程

例

x=acos⁡ ⁡ -->(t),y=asin⁡ ⁡ -->(t){\displaystyle x=a\cos(t),y=a\sin(t平面，表示了平面上半径为a{\displaystyle a}、以原点为圆心的圆。在三维，加入z=bt{\displaystyle z=螺旋}，便是螺旋的图形。这些式子可以表示成：

如果有一个粒子，沿这个螺旋的路径而行，直接微分上面的式子便会得到粒子的速度：

及加速度：

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。

譬如一个圆柱：

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x＝f(t)，y＝g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

常见参数方程

过(h, k)，斜率为m的直线: {x=h+ty=k+mt{\displaystyle {\begin{cases}x=h+t\\y=k+mt\end{cases}}}

圆：{x=rcos⁡ ⁡ -->ty=rsin⁡ ⁡ -->t{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}

椭圆：{x=acos⁡ ⁡ -->ty=bsin⁡ ⁡ -->t{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}

双曲线：{x=asec⁡ ⁡ -->ty=btan⁡ ⁡ -->t{\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}}

抛物线：{x=2cty=t2{\displaystyle {\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}}

螺线：{x=tcos⁡ ⁡ -->lty=tsin⁡ ⁡ -->lt{\displaystyle {\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}}

摆线：{x=r⋅ ⋅ -->(t− − -->sin⁡ ⁡ -->t)y=r⋅ ⋅ -->(1− − -->cos⁡ ⁡ -->t){\displaystyle {\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}}

注：上文中的a, b, c, h, k, l, m, p, r为已知数，t都为参数， x, y为变量

参见

隐方程

极坐标系

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