时不变系统

简单例子

为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统：

系统A：y(t)=tx(t){\displaystyle y(t)=t\,x(t)}

系统B：y(t)=10⋅ ⋅ -->x(t){\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}

由于系统A除了x(t){\displaystyle x(t)}与y(t){\displaystyle y(t)}之外还显式地依赖于t所以它是时变系统，而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。

正式例子

下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统A：

系统B:

抽象例子

我们用Tr{\displaystyle \mathbb {T} _{r}}表示移位算子，其中r{\displaystyle r}是矢量变址组（index set）需要移位的数值，例如“前进1步”的系统

可以用这个抽象表示

其中x~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {x}}}是

以及产生系统移位输出

所定义的函数，这样T1{\displaystyle \mathbb {T} _{1}}就是输入矢量增加1的算子。

假设我们用算子H{\displaystyle \mathbb {H} }表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

如果系统方程是

并且如果我们可以将系统算子H{\displaystyle \mathbb {H} }首先对x~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {x}}}进行运算，然后再用移位算子Tr{\displaystyle \mathbb {T} _{r}}进行运算，或者首先用移位算子Tr{\displaystyle \mathbb {T} _{r}}，然后再用系统算子H{\displaystyle \mathbb {H} }进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

首先用移位算子将得到

如果系统是时不变的，那么

参见

有限脉冲响应

线性时不变系统理论

en:Sheffer sequence

状态空间

系统分析

时变系统

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