欧拉运动定律

刚体

欧拉第一运动定律

欧拉第一定律表明，从某惯性参考系观测，施加于刚体的合外力，等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程表达为

其中，F(ext){\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} 是刚体感受到的合外力，m{\displaystyle m} 、acm{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}} 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子，感受到同样的合外力，而呈现的运动。

导引

思考由 n{\displaystyle n} 个粒子组成的多粒子系统，其质心位置 rcm{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}} 为

其中，mi{\displaystyle m_{i}} 、ri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 分别为第 i{\displaystyle i} 个粒子的质量、位置，m=∑ ∑ -->i=1nmi{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}} 是系统的质量。

质心速度 vcm{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}} 为

其中，vi=dridt{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}} 是第 i{\displaystyle i} 个粒子的速度。

质心加速度 acm{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}} 为

其中，ai=d2ridt2{\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}} 是第 i{\displaystyle i} 个粒子的加速度。

第 i{\displaystyle i} 个粒子感受到的力 Fi{\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 为

其中，Fi(ext){\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}} 是这粒子感受到的外力，Fji{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}} 是第 j{\displaystyle j} 个粒子施加于第 i{\displaystyle i} 个粒子的内力。

系统感受到的合力 F{\displaystyle \mathbf {F} } 是所有粒子感受到的力的矢量和：

根据牛顿第三定律，内力与其反作用力的关系为

所以，所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零，合力等于所有外力的矢量和 （合外力 F(ext){\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} ）：

根据牛顿第二定律，第 i{\displaystyle i} 个粒子感受到的力 Fi{\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 与这粒子的加速度之间的关系为

总和所有粒子所感受到的力，

所以，合外力 F(ext){\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} 与质心加速度的关系为

动量守恒定律

多粒子系统的动量 p{\displaystyle \mathbf {p} } 是组成这系统的所有粒子的动量的矢量和：

其中，pi{\displaystyle \mathbf {p} _{i}} 是第 i{\displaystyle i} 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

假设合外力为零，则系统的动量守恒。

欧拉第二运动定律

欧拉第二定律表明，设定某惯性参考系的固定点O（例如，原点）为参考点，施加于刚体的净外力矩，等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为

其中，τ τ -->O(ext){\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}} 是对于点O合外力矩，LO{\displaystyle \mathbf {L} _{O}} 是对于点O的角动量。

导引

思考由 n{\displaystyle n} 个粒子组成的多粒子系统。对于点O，第 i{\displaystyle i} 个粒子的角动量 Li{\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 为

Li{\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 对于时间的导数为

根据牛顿第二定律，施加于第 i{\displaystyle i} 个粒子的力 Fi{\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以，Li{\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 对于时间的导数为

第 i{\displaystyle i} 个粒子所感受到的合力矩 τ τ -->i{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 为 τ τ -->i=ri× × -->Fi{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}} 。所以，τ τ -->i{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 与 Li{\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 的关系为

总和所有粒子所感受到的合力矩，系统所感受到的合力矩 τ τ -->O{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}} 与其角动量 LO{\displaystyle \mathbf {L} _{O}} 的关系为

第 i{\displaystyle i} 个粒子所感受到的合力 Fi{\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 为

第 i{\displaystyle i} 个粒子所感受到的合力矩 τ τ -->i{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 为

物体感受到的合力矩 τ τ -->O{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}} 为：

应用牛顿第三定律，

其中，rij=ri− − -->rj{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}} 是从粒子 rj{\displaystyle \mathbf {r} _{j}} 到粒子 ri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 的位移矢量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律，即粒子运动为经典运动，速度超小于光速，则rij{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}} 与 Fji{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}} 同向，叉积为零。那么，物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和 τ τ -->O(ext){\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}} ：

这样，可以得到欧拉第二定律方程

假设施加于系统的合外力矩为零，则系统的角动量的时间变化率为零，系统的角动量守恒。

相对于质心的欧拉第二运动定律

所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为

其中，ri′=ri− − -->rcm{\displaystyle \mathbf {r} "_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}} 、ai′=ai− − -->acm{\displaystyle \mathbf {a} "_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}} 分别是第 i{\displaystyle i} 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度，其矢量和分别为零，所以，

现在，假设将质心设定为参考点，则 rcm=0{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}=0} ，方程变为

以质心为参考点，角动量 Lcm{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}} 为

所以，不论质心参考系是否为惯性参考系（即不论质心是否呈加速度运动），以质心为参考点，合外力矩等于角动量的时间变化率：

可变形体

在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样，也就是说，其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常，牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动，但在连续介质力学里，被加以延伸后，可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成，每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律，则可以推导出欧拉运动定律。不论如何，欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理，与物体结构无关。

在塑性力学（plasticity theory）里，施加于一个连续物体B的力可以分类为两种：“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分，称为彻体力（body force），而短程力只能作用于物体表面，称为接触力（contact force）。这样，施加于连续物体的合力 F{\displaystyle \mathbf {F} } 分为净彻体力 Fb{\displaystyle \mathbf {F} _{b}} 、净接触力 Ft{\displaystyle \mathbf {F} _{t}} ：

其中，b{\displaystyle \mathbf {b} } 是彻体力场（量纲为力每单位质量），dm{\displaystyle \mathrm {d} m} 是微小质量元素，ρ ρ -->{\displaystyle \rho } 是质量密度，dV{\displaystyle \mathrm {d} V} 是微小体元素，V{\displaystyle \mathbb {V} } 是积分体区域，t{\displaystyle \mathbf {t} } 是表面曳力（surface traction）密度，dS{\displaystyle \mathrm {d} S} 是微小面元素，S{\displaystyle \mathbb {S} } 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体，造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样，对于原点的合力矩 L{\displaystyle \mathbf {L} } 分为净彻体力矩 Lb{\displaystyle \mathbf {L} _{b}} 、净接触力矩 Lt{\displaystyle \mathbf {L} _{t}} ：

其中，r{\displaystyle \mathbf {r} } 是微小体元素或微小面元素的位置。

欧拉第一定律（“力平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合外力等于净动量的时间变化率：

也就是说，

其中，v{\displaystyle \mathbf {v} } 是微小体元素的速度。

欧拉第二定律（“角动量平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合力矩等于净角动量的时间变化率：

也就是说，

参阅

欧拉方程 (刚体运动)

欧拉旋转定理

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