幂集

例子

若 S {\displaystyle S} 是集合 { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} ，则 S {\displaystyle S} 的全部子集如下：

∅ ∅ --> {\displaystyle \varnothing }空集（空集）

{ a } {\displaystyle \{a\}}

{ b } {\displaystyle \{b\}}

{ c } {\displaystyle \{c\}}

{ a , b } {\displaystyle \{a,b\}}

{ a , c } {\displaystyle \{a,c\}}

{ b , c } {\displaystyle \{b,c\}}

{ a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}}

因此 S {\displaystyle S} 的幂集为

性质

若 S {\displaystyle S} 是有限集，有 | S | = n {\displaystyle |S|=n} 个元素，那么 S {\displaystyle S} 的幂集有 | P ( S ) | = 2 n {\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}} 个元素。（其实可以——事实上电脑就是这样做的——将 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 的元素表示为 n 位二进制数；第 n 位表示包含或不含 S {\displaystyle S} 的第 n 个元素。这样的数总共有 2 n {\displaystyle 2^{n}} 个。）

我们也可以考虑无穷集的幂集。以对角论证法可证明一个集合（不论是否无穷）的幂集的基数总是大于原来集合的基数（粗略的说，集合的幂集必然大于原来集合）。例如正整数集的幂集可以一一对应于实数集（把一个无穷0-1序列对应于那些包含有1出现的指数的集合。例如， { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}} 对应于序列 ( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , … … --> ) {\displaystyle (1,0,1,0,0,0,\ldots )} ， { 2 , 4 , 6 , 8 , … … --> } {\displaystyle \{2,4,6,8,\ldots \}} 对应于序列 ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , … … --> ) {\displaystyle (0,1,0,1,0,1,0,1,\ldots )} ）。

集合 S {\displaystyle S} 的幂集，加上并、交和补运算，就得出布尔代数的原始例子。事实上，我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立，但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。

集合 S {\displaystyle S} 的幂集与对称差运算构成一个阿贝尔群（其中空集为幺元，每个集合的逆元为其本身），与交运算一起则构成交换半群。因此这两个运算跟幂集（透过证明分配律）一起构成一个交换环。

2 的记法

在集合论中， X Y {\displaystyle X^{Y}} 是由所有从 Y {\displaystyle Y} 到 X {\displaystyle X} 的函数构成的集合。因为 2 {\displaystyle 2} 可以定义为 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} （见自然数）， 2 S {\displaystyle 2^{S}} 这集合包含了所有从 S {\displaystyle S} 到 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的函数。把 2 S {\displaystyle 2^{S}} 内的函数对应于由这函数给出的 1 {\displaystyle 1} 的原像，可看出在 2 S {\displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 之间存在双射，其中每个函数是 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 中这函数所对应的子集的特征函数。所以就集合论来说 2 S {\displaystyle 2^{S}} 和 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 是相同的。

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