博雷尔测度

生平埃米尔·博雷尔于1871年1月7日生于法国圣阿夫里屈埃。他和勒内-路易·贝尔、昂利·勒贝格都是测度论及其在概率论应用的先锋，拓扑学中的博雷尔集概念就是以他来命名。他1909年出版的一本书，介绍了“打字的猴子”的概念，引发了无限猴子定理这个有趣的实验构想。他在1921年至1927年间亦发表过不少博弈论论文，对博弈论作出重大贡献。1913年和1914年，他借由解说论文建立了双曲几何和狭义相对论的连结。1920年代至1940年代之间，博雷尔活跃于法国政坛，积极参与政治活动。1922年，埃米尔·博雷尔成立巴黎统计机构（InstitutdeStatistiquesdel"UniversitédeParis），这也是法国历史最悠久的统计学校。他从1924年至1936年间任法国国民议会议员。他于1925年担任海洋部长，成为同为数学家的法国总理保罗·潘勒韦内阁的成员。波莱尔于1921年当选法国科学院院...

历史和动机今天叫做海涅-博雷尔定理的历史开始于十九世纪对实分析的坚实基础的寻觅。理论的中心是一致连续的概念和声称所有闭区间上的连续函数是一致连续的定理。狄利克雷首先证明了它，并隐含的在他的证明中利用了闭区间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性。他在1862年的演讲中使用了这个证明，并在1904年得以出版。后来EduardHeine、卡尔·魏尔斯特拉斯和SalvatorePincherle使用了类似的技术。埃米尔·博雷尔在1895年首次发表并证明了一种形式的现在的海涅-博雷尔定理。他的公式化受限制于可数覆盖。昂利·勒贝格(1898年)和Schoenflies(1900年)把它推广到了任意覆盖。定理的讨论如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。设集合S是R的子集。首先证明一个引理：若a是S的一个极限点，则任意有限个开集U，其中U与a的某邻域VU不相交，所组成的开集族C不能构成S的一个开覆盖。实际上...

定义正式的定义为，一个测度μμ-->{\displaystyle\mu\}（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设A{\displaystyle{\mathcal{A}}}的元素是X{\displaystyleX\}的子集合，而且是一个σσ-->{\displaystyle\sigma}-代数，μμ-->{\displaystyle\mu\}在A{\displaystyle{\mathcal{A}}}上定义，于[0,∞∞-->]{\displaystyle[0,\infty]}中取值，并且满足以下性质：空集合的测度为零：可数可加性，或称σσ-->{\displaystyle\sigma}-可加性：若E1,E2,⋯⋯-->{\displaystyleE_{1},E_{2},\cdots}为A{\displaystyle{\mathcal{A}}}中可数...

预备知识对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群（G,・），其所有的紧子集生成的σ-代数被称为波莱尔代数（Borelalgebra），波莱尔代数的元素即为波莱尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左变换和右变换：左变换:右变换:左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。对于一个作用于G的波莱尔子集上的测量μ，如果对所有的波莱尔子集S和所有的g有则称这个测量μ是左变换不变的。相应可以定义右变换不变性。哈尔定理在差一个正因子常数的情形下，如果G的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质：对任意的g和波莱尔子集E，μ是左变换不变的:对所有的紧致集K，μ是有限的:在波莱尔集E上μ是外部正则(outerregular)的:在波莱尔开集E上μ是内部正则(innerregular)的:那么这个G上的测度μ便被称为左哈尔测度。特别的，如果G是紧致的那么μ(G)是有限且正的，因此总可以通过设定一归一条件μ...

历史莫卧儿皇帝奥朗则布在1707年逝世后，政局不稳，一个名为穆罕默德的阿富汗士兵从德里逃走到博帕尔的地区避难，并遇见当地冈德族的Kamlapati女王。这位女王的哥哥死后，求穆罕默德帮忙治理酋邦，他随后把9个小酋邦联合在一起了，并于1723年建立了博帕尔邦。博帕尔事件1984年12月2日，在博帕尔发生了历史上规模最大的毒气泄露案，导致数以万计的平民百姓死亡，20万人受害。当地居民至今尚未得到合理的赔偿。气候