单位根

定义

这方程的复数根 z{\displaystyle z\,}为n{\displaystyle n\,}次单位根。

单位的 n{\displaystyle n\,}次根有 n{\displaystyle n\,}个：

本原根

单位的 n{\displaystyle n\,}次根以乘法构成n{\displaystyle n}阶循环群。它的生成元是 n{\displaystyle n\,}次本原单位根。n{\displaystyle n\,}次本原单位根是e2π π -->kin{\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}，其中k{\displaystyle k\,}和n{\displaystyle n\,}互质。n{\displaystyle n\,}次本原单位根欧拉函数拉函数φ φ -->(n){\displaystyle \varphi (n)}。

例子

一次单位根有一个1{\displaystyle 1\,}。

二次单位根有两个：+1{\displaystyle +1\,}和− − -->1{\displaystyle -1\,}，只有− − -->1{\displaystyle -1\,}是本原根。

三次单位根是

其中i{\displaystyle {\mathrm {i} }\,}是虚数单位；除1{\displaystyle 1\,}外都是本原根。

四次单位根是

其中+i{\displaystyle +{\mathrm {i} }\,}和− − -->i{\displaystyle -{\mathrm {i} }\,}是本原根。

和式

当n{\displaystyle n\,}不小于2{\displaystyle 2\,}时，n{\displaystyle n\,}次单位根总和为0{\displaystyle 0\,}。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的xn− − -->1{\displaystyle x^{n-1}\,}项系数为零得出。

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