对角论证法

实数

康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反证法完成的，步骤如下：

假设区间[0, 1]是可数无穷大的

于是乎我们可以把所有在这区间内的数字排成数列 ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) {\displaystyle (r_{1},r_{2},r_{3},...)}

已知每一个这类的数字都能以小数形式表达

我们把这些数字排成数列（这些数字不需按序排列；事实上，有些可数集，例如有理数也不能按照数字的大小把它们全数排序，但单只是成数列就没有问题的）。对于那些有两种小数形式的数字，例如0.499 ... = 0.500 ...，我们选择前者。

举例，如果该数列小数形式表现如下： r 1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r 2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... r 3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r 4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... r 5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... r 6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r 7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... ...

考虑 r k {\displaystyle r_{k}} 小数点后的第k个位，为了方便起见，我们给这些数字加上下划线并粗体之，从下面你应明白为什么这个证明被称为对角论证法 r 1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r 2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... r 3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r 4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... r 5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... r 6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r 7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... ...

我们设一实数 x ∈ ∈ --> [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} ，其中x是因应以下的方式定义的

明显地x是一个在区间[0, 1]内的实数，以之前的数列为例，则相对应的x应为 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...

由于我们假设 ( r 1 , r 2 , r 3 , … … --> ) {\displaystyle (r_{1},r_{2},r_{3},\ldots )} 包括了所有区间[0, 1]内的实数，所以一定有一个 r n = x {\displaystyle r_{n}=x}

但由于x的特殊定义，这使到序列 ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) {\displaystyle (r_{1},r_{2},r_{3},...)} 之中所有的实数俱不能与x完全相等（因为x和 r n {\displaystyle r_{n}} 会在第n个小数位不同），所以x不在序列 ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) {\displaystyle (r_{1},r_{2},r_{3},...)} 中

所以 ( r 1 , r 2 , r 3 , . . . ) {\displaystyle (r_{1},r_{2},r_{3},...)} 并不能罗列所有区间[0, 1]内的实数，这发生了矛盾。

所以在第一点内所提出的假设“区间[0, 1]是可数无穷大的”为不成立。

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