包络线

证明

设曲线族的每条曲线Cs{\displaystyle C_{s}}为t↦ ↦ -->(x(s,t),y(s,t)){\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}。

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切，对于任意的s{\displaystyle s}，设(x(s,h(s)),y(s,h(s))){\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}表示Cs{\displaystyle C_{s}}和包络线相切的那点。由此式可见，s{\displaystyle s}是包络线的变数。要求出包络线，就即要求出h(s){\displaystyle h(s)}。

在Cs{\displaystyle C_{s}}的切向量为x∂ ∂ -->t,∂ ∂ -->y∂ ∂ -->t>{\displaystyle }，其中t=h(s){\displaystyle t=h(s)}。

在E的切向量为{\displaystyle }。因为x{\displaystyle x}是s{\displaystyle s}和t{\displaystyle t}的函数，而此处t=h(s){\displaystyle t=h(s)}，局部求导有：

类似地得 dyds=∂ ∂ -->y∂ ∂ -->hh′(s)+∂ ∂ -->y∂ ∂ -->s{\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\partial y}{\partial h}}h"(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}}}。

因为E{\displaystyle E}和Cs{\displaystyle C_{s}}在该点相切，因此其切向量应平行，故有

其中λ λ -->≠ ≠ -->0{\displaystyle \lambda \neq 0}。可用此两式消去h′(s){\displaystyle h"(s)}。整理后得： ∂ ∂ -->y∂ ∂ -->h∂ ∂ -->x∂ ∂ -->s=∂ ∂ -->y∂ ∂ -->s∂ ∂ -->x∂ ∂ -->h{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}

参见

克莱罗方程

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