七边形

2017-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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正七边形正七边形是指所有边等长、所有角等角的七边形，由七条相同长度的边和七个相同大小的角构成，是一种正多边形，因此在施莱夫利符号中可以用{7}{displaystyleleft{7right}}表示。正七边形的内角是5ππ-->7{displaystyle{frac{5pi}{7}}

正七边形

正七边形是指所有边等长、所有角等角的七边形，由七条相同长度的边和七个相同大小的角构成，是一种正多边形，因此在施莱夫利符号中可以用 { 7 } {\displaystyle \left\{7\right\}} 表示。正七边形的内角是 5 π π --> 7 {\displaystyle {\frac {5\pi }{7}}\弧度弧度，约为128.5714286度，其中角度的小数为无穷小数，值为 4 7 {\displaystyle {\frac {4}{7}}\,} 。

面积

正七边形的面积（A）可以利用其边长（a）来计算：

将正七边形的顶点与几何中心相连可以将正七边形分成七个扇三角形，这些三角形可再借由边心线将之一分为二。正七边形的边心距是 π π --> 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{7}}} 正切值的一半，而这十四个小三角形的面积就会是四分之一倍的边心距。

其确切的代数式是三次方程 x 3 + x 2 − − --> 2 x − − --> 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1} ，其中的一个根为 2 cos ⁡ ⁡ --> 2 π π --> 7 {\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}} ，在复数中表示为：

其中，复数中的虚数部最后会互相抵销使结果为实数。这个表达式不能被全部是实数的式子重写，也不能透过化简消去其虚数的部分。

构造

正七边形的边数7是一个皮尔庞特质数（英语： Pierpont prime ）但不是费马质数，因此不能用没有刻度的直尺和圆规来作图，但可以用一把有刻度的尺来作图。这种作图法称为纽西斯作图法。单用无刻度直尺和圆规不可能作出正七边形是因为，通过观察发现， 2 cos ⁡ ⁡ --> 2 π π --> 7 ≈ ≈ --> 1.247 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\approx 1.247} 是不可约三次多项式 f ( x ) = x 3 + x 2 − − --> 2 x − − --> 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1\,} 一个零点。因此这个多项式是: 2 cos ⁡ ⁡ --> 2 π π --> 7 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}} 的最小多项式。

然而尺规作图仍可以作出近似的正七边形。

近似作图

正七边形的近似作图

下图显示了一个具有约0.2％误差的正七边形近似作图。此法由阿尔布雷希特·丢勒提出

特定边长的近似作图

若将一个七边形的边长以 S = 3 2 11 {\displaystyle \scriptstyle {S=3{\tfrac {2}{11}}}} 单位长绘制在圆半径为 R = 3 2 3 {\displaystyle \scriptstyle {R=3{\tfrac {2}{3}}}} 的外接圆上时，其绝对误差可以降低到0.00013%。

这种近似值来自于 S R = 2 sin ⁡ ⁡ --> π π --> 7 ≈ ≈ --> 1 − − --> ( 4 11 ) 2 {\displaystyle \scriptstyle {{\tfrac {S}{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-\left({\tfrac {4}{11}}\right)^{2}}} 。这种正七边形画法误差十分小，即使绘制外接圆半径1公里大的毫米边形误差也仅有1.1毫米。