波包

历史背景

早在十七世纪，艾萨克·牛顿就提出了光微粒说，即光是由很多离散的粒子所构成，其中每一个粒子都遵守牛顿运动定律。他的主要反对者罗伯特·胡克、克里斯蒂安·惠更斯则主张光波动说：光是一种传播于介质中的波动。十九世纪，物理学者发现，在许多实验中，光表现出波动行为。其中一个特别着名的实验是双缝实验，这是英国物理学者托马斯·杨于1801年完成的实验。从这实验观察到的干涉图样给予光微粒说严重打击，因为光微粒说无法说明这现象，而光波动说可以。很多物理学者因此改变立场，采纳了光波动说。

在20世纪初，科学家发现经典力学存在着很多严峻问题，越来越多实验结果无法用经典理论来解释。到了1930年代，物理学者开始采纳波粒二象性，即物质具有波动性与粒子性。在这段时期，量子力学如火如荼的发展造成了理论方面的重大突破。许多困惑物理学者多年的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。例如，1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应的理论解析。按照爱因斯坦的理论解析，光的能量并非均匀分布，而是负载于离散的量子包，现称为光子。每个光子的能量E{\displaystyle E}与频率ν ν -->{\displaystyle \nu }之间的关系为

其中，h{\displaystyle h}是普朗克常数。

在光电效应里，光子的频率必须超过被冲击金属的特征极限频率（对应于金属的逸出功），才能使金属表面的电子获得足够能量逃逸出来，否则，不论辐照率有多高，都无法使得电子从金属表面逃逸出来。

二十世纪，量子力学持续地蓬勃发展。它所展现的绘景是一种粒子世界。在这粒子世界里，每一种物质都是由粒子形成，每一种现象都是由粒子彼此互相作用而产生；可是，这些粒子的量子行为都是用概率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些概率波的演化。至今，量子世界的粒子性已被许多实验证实，波动现象可以被诠释为粒子的波包秉性的特征后果。

范例

非色散传播

一个正在传播中，非色散的波包。

举一个非色散传播范例，思考波动方程：

其中，u{\displaystyle u}是波动函数，t{\displaystyle t}是时间，v{\displaystyle v}是波动在某介质里的传播速度。

采用物理时间常规e− − -->iω ω -->t{\displaystyle e^{-i\omega t}}平面波方程的平面波解是

其中，x{\displaystyle \mathbf {x} }是位置矢量，k{\displaystyle \mathbf {k} }是波数矢量，ω ω -->{\displaystyle \omega }是角频率。

为了满足平面波为波动方程的解，角频率和波数的色散关系为

为了便于计算，只考虑波传播于一维空间，则波动方程的一般解是

其中，方程右边的第一项表示往正x{\displaystyle x}方向传播的波动，第二项表示往负x{\displaystyle x}方向传播的波动。

波包是在局部区域里一组波的叠加。假若，波包是强劲存在于局部区域，则需要更多的频率来达成局部区域内的相长叠加，与局部区域外的相消叠加。这样，从基本平面波解，一般的波包可以表示为

其中，因子1/2π π -->{\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}是由傅里叶变换的常规而设定，振幅A(k){\displaystyle A(k)}是线形叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数可以表达为

其中，u(x,0){\displaystyle u(x,\,0)}是波包在初始时间t=0{\displaystyle t=0}的函数形式。

所以，知道波包在时间t=0{\displaystyle t=0}的函数形式u(x,0){\displaystyle u(x,\,0)}，应用傅里叶变换，可以计算出波包在任何时间的函数形式u(x,t){\displaystyle u(x,\,t)}。

例如，选择初始时间的函数形式为

经过一番运算，可以得到

这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。

色散传播

再举一个有色散传播例子，思考薛定谔方程，

其色散关系为

只考虑一维问题。经过一番运算，满足初始条件u(x,0)=e− − -->x2+ik0x{\displaystyle u(x,\,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}}的解是

观察这波包的色散行为。取u(x,t){\displaystyle u(x,\,t)}的绝对值，

这色散波包传播的群速度是常数k0{\displaystyle k_{0}}。波包的宽度跟时间有关，根据公式(1+4t2)1/2{\displaystyle (1+4t^{2})^{1/2}}随着时间增加。

参阅

波列

群速度

相速度

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