相关

各种相关系数

对于不同测量尺度的变数，有不同的相关系数可用：

Pearson相关系数（Pearson"s r ）：衡量两个等距尺度或等比尺度变数之相关性。是最常见的，也是学习统计学时第一个接触的相关系数。

净相关（ 英语： partial correlation ）：在模型中有多个自变数（或解释变数）时，去除掉其他自变数的影响，只衡量特定一个自变数与因变数之间的相关性。自变数和因变数皆为连续变数。

相关比（ 英语： correlation ratio ）：衡量两个连续变数之相关性。

Gamma相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。

Spearman等级相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。

Kendall等级相关系数（ 英语： Kendall tau rank correlation coefficient ）：衡量两个人为次序尺度变数（原始资料为等距尺度）之相关性。

Kendall和谐系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。

Phi相关系数（ 英语： Phi coefficient ）：衡量两个真正名目尺度的二分变数之相关性。

列联相关系数（ 英语： contingency coefficient ）：衡量两个真正名目尺度变数之相关性。

四分相关（ 英语： tetrachoric correlation ）：衡量两个人为名目尺度（原始资料为等距尺度）的二分变数之相关性。

Kappa一致性系数（ 英语： K coefficient of agreement ）：衡量两个名目尺度变数之相关性。

点二系列相关系数（ 英语： point-biserial correlation ）：X变数是真正名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。

二系列相关系数（ 英语： biserial correlation ）：X变数是人为名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。

皮尔逊积差系数（Pearson"s product moment coefficient）

数学特征

其中， E 是数学期望，cov表示协方差， σ σ --> X {\displaystyle \sigma _{X}} 和 σ σ --> Y {\displaystyle \sigma _{标准差 是标准差。

因为 μ μ --> X = E ( X ) {\displaystyle \mu _{X}=E(X)} ， σ σ --> X 2 = E ( X 2 ) − − --> E 2 ( X ) {\displaystyle \sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)} ，同样地，对于 Y {\displaystyle Y} ，可以写成

当两个变量的标准差都不为零，相关系数才有定义。从柯西-施瓦茨不等式可知，相关系数的绝对值不超过1。当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时，相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时，相关系数小于0。当两个变量独立时，相关系数为0，但反之并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说， X 是区间［－1，1］上的一个均匀分布的随机变量。 Y = X .那么 Y 是完全由 X 确定。因此 Y 和 X 是不独立的。但是相关系数为0。或者说他们是不相关的。当 Y 和 X 服从联合正态分布时，其相互独立和不相关是等价的。

当一个或两个变量带有测量误差时，他们的相关性就受到削弱，这时，“反衰减”性（disattenuation）是一个更准确的系数。

几何特征

对于居中的数据来说（何谓居中？也就是每个数据减去样本均值，居中后它们的平均值就为0），相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数（与Pearson系数不相兼容）。看下面的例子中有一个比较。例如，假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8（单位10亿美元），又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法来计算向量间夹角（参考数量积），未居中的相关性系数如下：

上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中（x中数据减去E (x) = 3.8，y中数据减去E (y) = 0.138）后得到：x =（−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2）、y =（−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042），由此得到了预期结果：

统计学上的相关

相关系数的计算过程可表示为：将每个变量都转化为标准单位，乘积的平均数即为相关系数 。

两个变量的关系可以直观地用散点图表示，当其紧密地群聚于一条直线的周围时，变量间存在强相关 。

一个散点图可以用五个统计量来概括。所有x值得平均数，所有x值的SD，所有y值得平均数，所有y值的SD，相关系数r.

将第一个变量记为x ,第二个变量记为y ,相关系数为r，则可以通过以下公式：

r = [（以标准单位表示的x）X（以标准单位表示的y）]的平均数

参见

相关不蕴涵因果

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