偏导数

简介

假设ƒ是一个多元函数。例如：

f = x + xy + y的图像。我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。

这是右图中y = 1时的图像片段。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数，通过对方程求导，我们发现ƒ在点（x, y, z）的。我们把它记为：

于是在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。

在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。

定义

函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：

也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为fx，它是一个一元函数。也就是说：

一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数fa，把y映射到a + ay + y：

在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此fa是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了f在y方向上的变化：

这就是f关于y的偏导数，在这里，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数f(x1,...,xn)在点（a1,...,an）关于xi的偏导数定义为：

在以上的差商中，除了xi以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数fa1,… … -->,ai− − -->1,ai+1,… … -->,an(xi)=f(a1,… … -->,ai− − -->1,xi,ai+1,… … -->,an){\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}，根据定义，

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间R（例如R或R）上的标量值函数f(x1,...xn)。在这种情况下，f关于每一个变量xj具有偏导数∂f/∂xj。在点a，这些偏导数定义了一个向量：

这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f（a）。这样，梯度便决定了一个向量场。

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R中用单位向量i^ ^ -->,j^ ^ -->,k^ ^ -->{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat Nabla算子定义Nabla算子(∇) 如下:

或者，更一般地，对于n维欧几里得空间R 的坐标(x1, x2, x3,...,xn)和单位向量(e^ ^ -->1,e^ ^ -->2,e^ ^ -->3,… … -->,e^ ^ -->n{\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }):

例子

圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：

V关于r的偏导数为：

它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。V关于h的偏导数为：

它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是：

以及

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：

这便给出了关于r的全导数：

可以化简为：

类似地，关于h的全导数是：

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。

与关于r和h二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量∇ ∇ -->V=(∂ ∂ -->V∂ ∂ -->r,∂ ∂ -->V∂ ∂ -->h)=(23π π -->rh,13π π -->r2){\displaystyle \nabla V=({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}})=({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2})}。

记法

在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。

f的一阶偏导数为：

二阶偏导数为：

二阶混合偏导数为：

高阶偏导数为：

当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中，f关于x的偏导数，把y和z视为常数，通常记为：

正式定义和性质

像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。设U为R的一个开子集，f : U → R是一个函数。我们定义f在点a = (a1, ..., an) ∈ U关于第i个变量xi的偏导数为：

即使在某个给定的点a，所有的偏导数∂f/∂xi(a)都存在，函数仍然不一定在该点连续。然而，如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续，那么f在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称f是一个C函数。

偏导数∂ ∂ -->f∂ ∂ -->x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}可以视为定义在U内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称f为在该点（或集合）的一个C函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：

参见

达朗贝尔算子

复合函数求导法则

旋度

方向导数

散度

外导数

梯度

雅可比矩阵

拉普拉斯算子

二阶导数的对称性

三乘积法则，又称为循环链式法则。

参考文献

George B. Thomas & Ross L. Finney. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1994: 833–840. ISBN 0-201-52929-7. 

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