李导数

定义

李导数有几种等价的定义。在本节，为简便起见，我们用标量场和向量场的李导数的定义开始。李导数也可定义在一般的张量上，如后面的章节所述。

李导数的定义可以从函数的微分开始。这样，给定一个函数f:M→ → -->R{\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }和一个向量场向量场X , f在点p∈ ∈ -->M{\displaystyle p\in M}的李导数定义为

其中df{\displaystyle df}是f的微分。也就是，df:M→ → -->T∗ ∗ -->M{\displaystyle df:M\rightarrow T^{*}M}是由下式给出的[1-形式]

这里，dxa{\displaystyle dx^{a}}是余切丛T∗ ∗ -->M{\displaystyle T^{*}M}的基向量。这样，记号df(p)[X(p)]{\displaystyle df(p)\,[X(p)]}表示取f（在M中的点p）的微分和向量场X（在点p）的内积。

或者，可以先表明M上的光滑向量场X定义了一个M上的单参数曲线族。也就是，可以表明存在曲线γ γ -->(t){\displaystyle \gamma (t)}在M上使得

其中p=γ γ -->(0){\displaystyle p=\gamma (0)}对于所有M中的点p成立。这常微分方程分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理给出（更一般的曲线种曲线的存在性是弗罗贝尼乌斯定理给出）。然后可以定义李导数为

第三个可能的定义可以通过先定义一对向量场的李括号给出。首先注意到切空间的基向量可以写为∂ ∂ -->∂ ∂ -->xa{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}，所以一个向量场，用一组选定的基向量可以表示为

定义李括号[X,Y]{\displaystyle [X,Y]}为

然后定义向量场Y的李导数等于X和Y的李导数，也就是，

根据上面任选的一个定义，其他的定义可被证明为其等价形式。 例如，可以证明，对于一个可微函数f，

并且

我们用在1-形式ω ω -->=ω ω -->adxa{\displaystyle \omega =\omega _{a}dx^{a}}上的李导数的定义来结丛本节：

性质

李导数有一些属性。令F(M){\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}为流形M上的函数组成的代数。则

是一个在代数F(M){\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}上的导数。也就是， LX{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}是R-线性的，并且

类似的，它是F(M)× × -->X(M){\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}上的一个导数，其中X(M){\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}是M上的向量场的集合：

也可写为等价形式

其中张量积符号⊗ ⊗ -->{\displaystyle \otimes }用于强调函数和向量场的积在整个流形上取。

另外的性质和李括号的一致。所以，例如，作为向量场的导数，

容易发现上面就是雅可比恒等式。这样，就可以得到“装备了李括号的M上的向量空间是李代数”的重要结果。

和外导数的关系、微分形式的李导数

李导数和外导数密切相关，因此和埃里·嘉当的微分流形理论相关。 两个都试图给出导数的思想，其差别几乎只是记号上的。这个区别可以通过引入反导数或等效的内积来消除。 这之后，两者的关系就体现在一组恒等式上。

令M为一个流形，X为M上一个向量场。令ω ω -->∈ ∈ -->Λ Λ -->k+1(M){\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}为一k+1-形式。 X和ω的内积为

注意

以及iX{\displaystyle i_{X}}是∧ ∧ -->{\displaystyle \wedge }-反导数。也就是，iX{\displaystyle i_{X}}是R-线性的，并且

对于ω ω -->∈ ∈ -->Λ Λ -->k(M){\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}和另一个微分形式η成立。另外，对于一个函数f∈ ∈ -->Λ Λ -->0(M){\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}，那是一个实或复值 的M上的函数，有

外导数和李导数的关系可以总结为以下这些。对于一般函数f，李导数就是外导数和向量场的内积：

对于一般的微分流形，李导数类似于内积，加上X的变化：

当ω为1-形式，上述恒等式经常写作

导数的乘积是可分配的

张量场的李导数

在微分几何中，如果我们有一个(p,q){\displaystyle (p,q)}阶可微张量场（我们可以把它当作余切丛T∗ ∗ -->M{\displaystyle T^{*}M}截面滑截面α α -->,β β -->,… … -->{\displaystyle \alpha ,\beta ,\ldots }和切丛TM{\displaystyle TM}的截面X,Y,… … -->{\displaystyle X,Y,\ldots }的线性映射 T(α α -->,β β -->,… … -->,X,Y,… … -->){\displaystyle T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )}），使得对于任何函数 f1,… … -->,fp,fp+1,… … -->,fp+q{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{p},f_{p+1},\ldots ,f_{p+q}}有

而且如果进一步有一个可微向量场（也就是切丛的一个光滑截面）A{\displaystyle A}，则线性映射

独立于联络∇；只要它是无挠率的，事实上，这个映射是一个张量。这个张量称为T{\displaystyle T}关于A{\displaystyle A}的李导数。

换句话说，如果你有一个张量场T{\displaystyle T}和一个由向量场U{\displaystyle U}给出的微分同胚的无穷小生成元，则LUT{\displaystyle {\mathcal {L}}_{U}T}就是T{\displaystyle T}在这个无穷小微分同胚下的无穷。

或者，给定向向量场U{\displaystyle U}，令ψ为U{\displaystyle U}的积分曲线族，向上面那样。注意ψ是一个局部单参数局部微分同胚群。令ψ ψ -->∗ ∗ -->{\displaystyle \psi ^{*}}为由ψ诱导的拉回（pullback）。则张量T{\displaystyle T}在p{\displaystyle p}点的李导数如下

参见

基灵场

李群

测地线

协变导数

联络

参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.6.

Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.

David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.

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