可测函数

特殊可测函数

如果(X, Σ)和(Y, Τ)是波莱尔空间，则可测函数f又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

可测函数的性质

两个可测的实函数的和与积也是可测的。

如果函数f是Σ Σ -->1/Σ Σ -->2{\displaystyle \Sigma _{1}/\Sigma _{2}}可测的，函数g是Σ Σ -->2/T{\displaystyle \Sigma _{2}/\mathrm {T} }可测的，那么复合函数g∘ ∘ -->f{\displaystyle g\circ f}是Σ Σ -->1/T{\displaystyle \Sigma _{1}/T}可测的。

可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果(fn){\displaystyle (f_{n})}是一个可测函数序列，在[−∞, +∞]中取值，那么lim supnfn{\displaystyle \limsup _{n}f_{n}}也是可测的。

可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）

只有可测函数可以进行勒贝格积分。

一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果A{\displaystyle A}是实数轴R{\displaystyle \mathbb {R} }的一个不可测子集，那么它的指示函数1A(x){\displaystyle 1_{A}(x)}是不可测的。

参见

可测函数的向量空间：L p {\displaystyle L^{p}} 空间

保测动态系统

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