牟合方盖

初出

《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释中指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，也就是：

但刘徽没有给出牟合方盖的体积公式，所以也就得不出球体的体积公式。

推导

一直到南北朝时，数学家祖冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积。他们的求法纪录在唐代李淳风为九章算数作的注解中，留传至今。

在这一段说明的形状可以看做是一个 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} 的牟合方盖，外接一个立方体； 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} 的牟合方盖即是“内棋”，立方体减去内棋的余部即为“外棋”。

现在将内外棋横向切开。内棋的截面是正方形，可以用勾股弦定理求出其边长与圆半径的关系式。令圆半径（立方体边长）为 r，底面到截面的高为 h ，则正方形边长为 r 2 − − --> h 2 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-h^{2}}}} ，面积为 r 2 − − --> h 2 {\displaystyle r^{2}-h^{2}} ；也就是说外棋截面的面积为 r 2 − − --> ( r 2 − − --> h 2 ) = h 2 {\displaystyle r^{2}-(r^{2}-h^{2})=h^{2}} 。

现在以立方体的一个底面和底面以外的一个顶点作一个四角锥（这个形状称为 阳马 ）。对阳马距离角锥h处横向切开，则截面是一个正方形，面积等于 h 2 {\displaystyle h^{2}} 。

祖氏父子在此解释： 所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等 。这就是今天所称的“ 祖暅原理 ”。套用此定理，

所以外棋体积也等于阳马体积。

《九章算术》中已有提到，阳马的体积等于其外接立方体的体积的 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} ，所以内棋的体积是立方体的 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} ，即 2 r 3 3 {\displaystyle {\tfrac {2r^{3}}{3}}} 。由于内棋是牟合方盖的 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} ，故牟合方盖的体积为

而球体体积即为

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