雅可比猜想

雅可比行列式

令n>1为固定的整数，考虑多项式F1, ... , Fn，变量为X=(X1, ... , Xn)，系数在特征为零的代数闭域k中。（可假设k为复数域C{\displaystyle \mathbb {C} }。）也就是说F1,… … -->,Fn∈ ∈ -->k[X]{\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in k[X]}。定义函数F: k→k为

函数F的雅可比行列式JF是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式

JF也是变量为X的多项式函数。

叙述

多变量微积分的反函数定理指出如在某一点有JF ≠ 0，那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域，JF是多项式，因此JF必定在某些点上为0，除非JF是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

而其反命题则为雅可比猜想： 令k{\displaystyle k}为一特征为零的代数闭域。若

F=(F1,… … -->,Fn)∈ ∈ -->k[X]× × -->k[X]× × -->… … -->k[X]{\displaystyle F=(F_{1},\dots ,F_{n})\in k[X]\times k[X]\times \dots k[X]},

JF是非零常数函数，（等价于以下条件：对于所有的x∈ ∈ -->kn{\displaystyle x\in k^{n}}，F′(x){\displaystyle F"(x)}皆是可逆的线性变换）

则F{\displaystyle F}有反函数，且此反函数亦属于k[X]{\displaystyle k[X]}。

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