逆矩阵

求法

伴随矩阵法

如果矩阵A{\displaystyle A}可逆，则A− − -->1=A∗ ∗ -->|A|{\displaystyle A^{-1}={\frac {A^{*}}{|A|}}}其中A∗ ∗ -->{\displaystyle A^{*}}是A{\displaystyle A}的伴随矩阵。

注意：A∗ ∗ -->{\displaystyle A^{*}}中元素的排列特点是A∗ ∗ -->{\displaystyle A^{*}}的第k{\displaystyle k}列元素是A{\displaystyle A}的第k{\displaystyle k}行元素的代数余子式。要求得A∗ ∗ -->{\displaystyle A^{*}}即为求解A{\displaystyle A}的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}互逆，则AB=BA=I{\displaystyle AB=BA=I}。由条件AB=BA{\displaystyle AB=BA}以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}都是方阵。再由条件AB=I{\displaystyle AB=I}以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是n× × -->n{\displaystyle n\times n}方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵A{\displaystyle A}施以初等行变换（初等列变换）就相当于在A{\displaystyle A}的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对A{\displaystyle A}和I{\displaystyle I}施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵A{\displaystyle A}被变为I{\displaystyle I}时，I{\displaystyle I}就被变为A{\displaystyle A}的逆阵B{\displaystyle B}。

性质

(A− − -->1)− − -->1=A{\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}

(λ λ -->A)− − -->1=1λ λ -->× × -->A− − -->1{\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}}

(AB)− − -->1=B− − -->1A− − -->1{\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}

(AT)− − -->1=(A− − -->1)T{\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}（AT{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}为A的转置）

det(A− − -->1)=1det(A){\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}（det为行列式）

广义逆阵

广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见

矩阵

广义逆阵

除法

外部链接

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