广义速度

与动能的关系

在三维空间里，一个质量为m{\displaystyle m\,\!}、速度为v{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}的粒子的动能是

速度是位置r{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}对于时间t{\displaystyle t\,\!}的导数。应用偏微分连锁律，可以得到

其中，qi{\displaystyle q_{i}\,\!}是第i{\displaystyle i\,\!}个广义坐标，q˙ ˙ -->i{\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}是对应的广义速度。

所以，

将方程展开，动能可以分为三个项目表示：

其中，

T0{\displaystyle T_{0}\,\!}、T1{\displaystyle T_{1}\,\!}、T2{\displaystyle T_{2}\,\!}分别为广义速度q˙ ˙ -->i{\displaystyle {\dot {q}}_{i}\,\!}的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间，∂ ∂ -->r∂ ∂ -->t=0{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!}，则只有T2{\displaystyle T_{2}\,\!}不等于零。所以，T=T2{\displaystyle T=T_{2}\,\!}，动能是广义速度的2次齐次函数。

参阅

拉格朗日力学

哈密顿力学

虚功

广义力

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