单射

例子与反例

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。

函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。

函数g : R → R，其定义为g(x) = x，不是单射的，因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负实数[0,+∞)内，则g是单射的。

指数函数exp:R→ → -->R+:x↦ ↦ -->ex{\displaystyle \exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}是单射的。

自然对数函数ln:(0,+∞ ∞ -->)→ → -->R:x↦ ↦ -->ln⁡ ⁡ -->x{\displaystyle \ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}}是单射的。

函数g:R→ → -->R:x↦ ↦ -->x3− − -->x{\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}-x}，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。

形象化地说，当定义域和到达域都是实数集R时，单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。

单射函数为可逆函数

另一单射函数的定义为其作用可取消的函数。更精确地说，f : X → Y为单射，若存在一函数g : Y → X，使得对所有X内的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 是X上的恒等函数的限制。

注意，g不一定是f的反函数，因为复合f o g不一定是在Y上的恒等函数。

事实上，要将一单射函数f : X → Y变成双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所有X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为满射的了。确实，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y是由J到Y的内含映射。

其他性质

若f和g皆为单射的，则f o g亦为单射的。

单射复合

若g o f为单射的，则f为单射的（但g不必然要是）。

f : X → Y是单射的当且仅当当给定两函数g, h : W → X会使得f o g = f o h时，则g = h。

若f : X → Y为单射的且A为X的子集，则f(f(A)) = A。

若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集，则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。

任一函数 h : W → Y 皆可分解为 h = f o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构， f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。

若 f : X → Y 是单射，则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。

若 X 与 Y 皆为有限集，则 f : X → Y 是单射当且仅当它是满射。

内含映射总是单射。

范畴论的观点

以范畴论的语言来说，单射函数恰好是集合范畴内的单态射。

另见

双射

单射模

单态射

满射

参考文献

Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1 , p. 17 ff.

Halmos, Paul R., Naive Set Theory, New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6 , p. 38 ff.

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