环的谱

扎里斯基拓扑

对于交换环 A{\displaystyle A} 里的任一理想 a{\displaystyle {\mathfrak {a}}}，置 V(a):={p∈ ∈ -->Spec(A):p⊃ ⊃ -->a}{\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}}。容易证明下述性质：

V(ab)=V(a)∪ ∪ -->V(b){\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})}

V(∑ ∑ -->iai)=⋂ ⋂ -->iV(ai){\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}

V(a)⊂ ⊂ -->V(b){\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})}当且仅当a⊃ ⊃ -->b{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}}

因此我们可以在Spec(A){\displaystyle Spec(A)}上定义一个拓扑结构，使得其闭子集恰为形如V(a){\displaystyle V({\mathfrak {a}})}的子集，称之扎里斯基拓扑。

一般而言，扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质。

结构层

考虑扎里斯基拓扑下的下述预层：

O0,A:U↦ ↦ -->lim← ← -->p∈ ∈ -->U⁡ ⁡ -->Ap{\displaystyle {\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}}

令OA{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}为其层化，称作Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的结构层。显然有OA,p=Ap{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}}，故(Spec(A),O){\displaystyle (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})}构成一个局部赋环空间。

一个元素a∈ ∈ -->A{\displaystyle a\in A}给出OA{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A截面的截面，事实上可以证明Γ Γ -->(Spec(A),OA)=A{\displaystyle \Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A}。

交换环谱间的态射

设A,B{\displaystyle A,B}为交换环，ϕ ϕ -->:A→ → -->B{\displaystyle \phi :A\rightarro同态B}为一同态，则可定义一个映射f(p)=ϕ ϕ -->− − -->1(p){\displaystyle f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}，这是从Spec(B){\displaystyle \mathrm {Spec} (B)}到Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的连续映射，在结构层上则以a↦ ↦ -->ϕ ϕ -->(b){\displaystyle a\mapsto \phi (b)}定义f♯ ♯ -->:OA→ → -->f∗ ∗ -->OB{\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}}，那么(f,f♯ ♯ -->){\displaystyle (f,f^{\sharp })}给出局部赋环空间的态射。

反之，任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。

古典观点

令k{\displaystyle k}为代数封闭域，给定fi∈ ∈ -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}（i=1,2,...），则方程组fi(x1,… … -->,xn)=0{\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}定义一个代数簇X⊂ ⊂ -->Akn{\displaystyle X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}。

设a:=(f1,… … -->,fn)⊂ ⊂ -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle {\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}，A:=k[X1,… … -->,Xn]/a{\displaystyle A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}} }。根据希尔伯特零点定理，X{\displaystyle X}的点一一对应到A{\displaystyle A}的极大理想。

一般而言，Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}内的元素一一对应到X{\displaystyle X}内的不可约闭集。考虑全体素理想的好处之一，在于可以借此在概形上运用安德烈·韦伊的一般点（generic point）理论；此外，环同态不一定将极大理想拉回到极大理想，除非该环是 Jacobson 环。

Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的拓扑结构仅涉及a{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}。A{\displaystyle A}里的幂零元素看似无几何意义，但它们在研究无穷及态射的纤维上功效至大。

参见

《代数几何基础》

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