内切圆

三角形的内切圆

任何三角形ABC{\displaystyle ABC}都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为I，是三角形内角平分线的交点。在三线坐标，内心是1:1:1。

性质

内切圆的半径为2△ △ -->a+b+c{\displaystyle {\frac {2\triangle }{a+b+c}}}，当中△ △ -->{\displaystyle \triangle }面积三角形的面积。

以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形TATBTC{\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}是ABC{\displaystyle ABC}的内接三角形之一。ABC{\displaystyle ABC}的内切圆就是TATBTC{\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}的外接圆。而ATA{\displaystyle AT_{A}}、BTB{\displaystyle BT_{B}}和CTC{\displaystyle CT_{C}}三线交于一点，它们的交点就是热尔岗点（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r 以及内外心间距OI 之间有如下关系：

直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径

由此性质再加上勾股定理a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，可推得：

在直角座标系中，若顶点的座标分别为(x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}、(x2,y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}、(x3,y3){\displaystyle (x_{3},y_{3})}，则内心的座标为：

四边形的内切圆

不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：AB+CD=AD+BC{\displaystyle AB+CD=AD+BC}。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为： SABCD=rs{\displaystyle S_{ABCD}=rs}，其中s 为半周长。

同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。

正多边形的内切圆

正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为：

其内切圆的面积为：

内切圆面积sn{\displaystyle s_{n}}与正多边形的面积Sn{\displaystyle S_{n}}之比为：

故此，当正多边形的边数n{\displaystyle n}趋向无穷时，

参见

旁切圆

外接圆

九点圆

内切球

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