黎曼曲面
形式化定义令X为一个豪斯多夫空间。一个从开子集U⊂C到X的子集的同胚称为坐标卡。两个有重叠区域的坐标卡f和g称为相容的，如果映射fog和gof是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图册"。当我们赋予X一个图册A,我们称(X,A)为一个黎曼曲面。如果知道有图册，我们简称X为黎曼曲面。不同的图册可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。例子复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z)=z（恒等映射）定义了C的一个图，而{f}是C的一个图集。映射g(z)=z（共轭）映射也定义了C的一个图而{g}也是C的一个图集。图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A，共轭图集B={f:f...
黎曼猜想
历史黎曼ζ函数在临界线Re(s)=1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s)=±14.135,±21.022和&p
黎曼几何
黎曼几何古典理论下面给出部分的黎曼几何古典理论。一般理论高斯-博内定理：紧致二维黎曼流形上高斯曲率的积分等于2ππ-->χχ-->(M){displaystyle2pichi(M)}
黎曼ζ函数
历史奥里斯姆ζ函数最早出现于1350年左右，当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即ζζ-->(1)=1+12+13+14+...→→-->∞∞-->{displ
黎曼流形
参看黎曼几何芬斯勒流形黎曼子流形假黎曼流形参考JurgenJost,RiemannianGeometryandGeometricAnalysis,(2002)Springer-Verlag,BerlinISBN3-540-4267-2
