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集合论

集合论（英语：Set theory）或称集论，是研究集合（由一堆抽象对象（英语：Abstract object）构成的整体）的数学理论，包含集合和元素（或称为成员）、关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，都是在集合论的语言下谈论各种数学对象（英语：mathematical objects）。集合论、命题逻辑与谓词逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学对象。

现代集合论的研究是在1870年代由俄国数学家康托尔及德国数学家理察·戴德金的朴素集合论开始。在朴素集合论中，集合是当做一堆对象构成的整体之类的自证概念，没有有关集合的形式化定义。在发现朴素集合论会产生一些悖论（英语：Paradoxes of set theory）后，二十世纪初期提出了许多公理化集合论，其中最著名的是包括选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论，简称ZFC。公理化集合论不直接定义集合和集合成员，而是先规范可以描述其性质的一些公理...

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集合论

历史康托尔现代集合论的研究开始于1870年代由康托尔及理察·戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的，但朴素集合论的开始是1874年康托尔的一篇论文《OnaCharacteristicPropertyofAllRealAlgebraicNumbers》。而在稍早的1873年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天也因此成为了集合论的诞生日。从公元前五世纪时，数学家们就在研究有关无穷的性质，最早期是希腊数学家芝诺和印度数学家，十九世纪时伯纳德·波尔查诺在此领域有相当的进展。现在对于无限的了解是从1867–71年康托尔在数论上的研究开始，1872年康托尔和理查德·戴德金的一次聚会影响了康托尔的理念，最后产生了1874年的论文。当时的数学家对康托尔的研究有二种完全不同的反应：卡尔·魏尔斯特拉斯及理查德·戴德金支持康...

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策梅洛-弗兰克尔集合论

介绍ZFC构成自一个单一的基本本体论概念集合，和一个单一的本体论假定，就是在论域中所有的个体（就是所有数学对象）都是集合。有一个单一的基本二元关系集合成员关系；集合a是集合b的成员写为a∈∈--&gt

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公理化集合论

严谨集合论的源起集合论的公理集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。外延公理：（Axiomofextensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。分类公理：（Axiomschemaofspecification/axiomschemaofseparation/axiomschemaofrestrictedcomprehension）或称子集公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。配对公理：（Axiomofpairing）假如x,y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。并集公理：（Axiomofunion）每一个集合也有一个并集。也就是...

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朴素集合论

集合、成员及相等在朴素集合论中，集合是指由许多物件组成，有明确定义的搜集（collection）。这些物件称为集合的元素或是成员。物件可以是数字、人、其他组合等。例如，4是所有偶数形成集合中的元素。而集合的成员可以是无限多个，像是偶数形成的集合就有无限多个元素。成员若x是集合A的成员，也可以说x属于A，可以用x∈A表示，∈符号衍生自希腊字母小写的ε，是朱塞佩·皮亚诺在1889年引入，应该是因为是ἐστί（意思是"是"）的第一个字母。也常在x∉A的式子中用到符号∉，意思是x不属于A。相等两个集合A和B若其元素完全相同，则定义为二集合相等。也就是说，集合A的每一个元素都在集合B里，而集合B的每一个元素都在集合A里（参考外延公理）。因此一个集合可完全由其元素来确认，描述方式不是重点。例如一个有元素2,3和5的集合和由小于6的质数组成的集合相等。若集合A和B相等，可以表示为A=B。空集合空集合常会...

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